Doğrusal İlişki ve Doğrusal Denklemler Konu Anlatımı
Bu konuda neler öğreneceğiz :
Doğrusal İlişki ve Doğrusal Denklemler
Kazanım: Aralarında doğrusal ilişki bulunan iki değişkenden birinin diğerine bağlı olarak nasıl değiştiğini tablo ve denklem ile ifade eder.
DOĞRUSAL İLİŞKİ NEDİR?
Bilgi: Eşit aralıklarda sabit bir şekilde artma veya azalma oranına sahip olan ilişkilere doğrusal ilişki denir. Bir doğrusal ilişki; tablo kullanarak, denklem kurarak veya grafik oluşturarak üç farklı şekilde gösterebiliriz.
👀 Doğrusal ilişkiyi daha iyi anlamak için aşağıdaki örneği inceleyelim.
Matara video izleme kanalında video yükleyen Ömer Faruk hoca yüklediği videonun günlere göre izlenme sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| Gün Sayısı | İzlenme Sayısı | İlişki |
| 1 | 750 | 1×500+250 |
| 2 | 1250 | 2×500+250 |
| 3 | 1750 | 3×500+250 |
| 4 | 2250 | 4×500+250 |
| 5 | 2750 | 5×500+250 |
| 6 | 3250 | 6×500+250 |
| 7 | 3750 | 7×500+250 |
Yukarıdaki tabloyu incelediğimizde günler birer birer artmakta izlenme sayıları ise 500’er 500’er artmaktadır. Yani günler ile izlenme sayıları arasında doğrusal bir ilişki vardır. Bu doğrusal ilişki gün sayısının 500 katının 250 fazlasıdır. Şimdi bu doğrusal ilişkinin grafiğini çizelim.
Yukarıda gün sayısı ile izlenme sayısı arasındaki doğrusal ilişkinin grafiği çizilmiştir. Bu grafik incelendiğinde doğru olacak şekilde düz bir çizgiden oluştuğunu görürüz. Bunu doğrusal ilişki grafikleri düz çizgiden oluşur şeklinde yorumlayabiliriz.
BAĞIMLI DEĞİŞKEN VE BAĞIMSIZ DEĞİŞKEN NEDİR?
Bilgi: Farklı değerler verebileceğimiz çokluklara bağımsız değişken , Verdiğimiz değerlere değişen çokluklara bağımlı değişken denir.
Örnek: Aşağıda verilen ifadelerdeki çoklukların hangisinin bağımsız değişken , hangisinin bağımlı değişken olduğunu inceleyelim.
👉 1 kg kirazın fiyatı 30 ₺ ‘dir.
🟣 Kirazın fiyatı Bağımlı değişkendir.
🟣 Kirazın ağırlığı Bağımsız değişkendir.
👉 Bir taksimetrenin açılış ücreti 15 ₺ , gidilen her km 10 ₺ ‘dir.
🟣 Taksi ücreti Bağımlı değişkendir.
🟣 Gidilen yol Bağımsız değişkendir.
👉 Başlangıçta boyu 40 cm olan bir fidan her yıl 20 cm uzamaktadır.
🟣 Fidanın boyu Bağımlı değişkendir.
🟣 Zaman (yıl) Bağımsız değişkendir.
DOĞRUSAL DENKLEM NEDİR?
Bilgi: Doğrusal ilişkiyi göstermek için kullanılan denklemlere doğrusal denklem denir.
✅ x ve y değişken (bilinmeyen) , a ve b katsayı ve c ise sabit terim olmak üzere: ax + by + c = 0 şeklinde olan denklemlere doğrusal denklem denir.
ÖRNEK: Bir taksinin taksimetresi açılışta 20 ₺ ve gidilen her kilometrede 10 ₺ yazmaktadır. Şimdi bu ilişkiyi tablo ve grafikle gösterelim.
| Yol (km) | Ücret ( ₺ ) | İlişki |
| 0 | 20 | 20+0×10 |
| 1 | 30 | 20+1×10 |
| 2 | 40 | 20+2×10 |
| 3 | 50 | 20+3×10 |
🔷 Tablo ve grafik incelenirse veriler arasında doğrusal bir ilişki olduğu görülür.
🔷 Bu ilişkiyi yazacak olursak:
ÜCRET = 20 ₺ + YOL x 10 ₺
ü = 20 + y . 10
x=20+10y (ücret x , yol y olsun)
🔷 Bu oluşturduğumuz denklem doğrusal denklemdir.
🔷 Burada ücret değişkeni gidilen yola bağlı olduğu için ücret bağımlı, yol bağımsız değişkendir.
DOĞRUSAL İLİŞKİ İÇEREN GRAFİKLERİ YORUMLAMA
Doğrusal ilişki içeren grafikleri yorumlarken aşağıdaki yöntemleri kullanabiliriz.
✅ Doğru üzerinde verilen bir noktanın koordinatlarından yararlanılarak grafik yorumlanabilir.
Örnek:
Yukarıda verilen grafik bir aracın Mersin’e olan uzaklığının zaman bağlı değişimini göstermektedir.
Buna göre bu aracın 12. saatin sonunda Mersin’e olan uzaklığı kaç km olur?
👉 Aracın başlangıçta yani hiç hareket etmeden Mersin’e olan uzaklığı 30 km’dir.
👉 Verilen grafiği incelediğimizde araç yolun 30 km’si ile 230 km’sini 5 saatte almıştır. Yani bu araç 200 km yolu 5 saatte almıştır.
👉 5 saatte 200 km yol alırsa 1 saatte 40 km yol alır.
👉 1 saatte 40 km yol alırsa 12 saatte 480 km yol alır.
👉 Başlangıçta 30 km yol aldığı için 480+30=510 km 12 saatin sonunda aracın Mersin’e olan uzaklığıdır.
Örnek:
Başlangıçta 200 litre su bulunan bir depodaki su miktarının zamana bağlı değişimi yukarıdaki grafikte verilmiştir.
Buna göre depodaki suyun tamamı kaç saatte tükenir?
👉 Yukarıdaki grafik türü azalan zaman grafiğidir. Yani zamanla depodaki su miktarı azalmaktadır.
👉 Grafiği incelediğimizde depoda başlangıçta 200 litre su vardır.4 saat sonunda 120 litre su kalmıştır. Yani 4 saatte depoda 80 litre su boşalmıştır.
👉 4 saatte 80 litre su akarsa 1 saatte 20 litre su akar.(orantı kurarız)
👉 200 litre su 200÷20=10 saatte su akar.
✅ Verilen doğru grafiğinin doğrusal denklemini oluşturarak grafik yorumlanabilir.
Örnek:
Yukarıdaki grafik iki ayrı mumun zamana bağlı değişimini göstermektedir.
Buna göre ;
a) Kaç saat sonra mumların boyu eşit olur?
👉 Yukarıdaki grafiği yorumlamak için 1.mum ve 2.muma ait doğrusal denklemini oluşturalım.
👉 1.mumun doğrusal denklemi
Birinci mum 20 saatte 80 cm tükeniyor.
1 saatte 4 cm tükenir.
Birinci mumum doğrusal denklemi = 80-4x
👉 2.mumun doğrusal denklemi
İkinci mum 30 saatte 60 cm tükeniyor.
1 saatte 2 cm tükenir.
İkinci mumum doğrusal denklemi = 60-2x
👉 Birinci ve ikinci mumun boylarının kaç saat sonra boylarının eşit olduğunu bulmak için iki mumunda doğrusal denklemlerini eşitleriz.
80-4x = 60-2x
80-60 = 4x-2x
2x=20
x=10 saat sonra boyları eşit olur.
b) 1. mumun boyu 56 cm kaldığında 2. mumum boyu kaç cm olur?
👉 1. mumun boyu 56 cm olması için kaç saat geçmesi gerektiğini bulmak için 1.mumun doğrusal denklemini 56 cm eşitleriz.
80-4x = 56
80-56 = 4x
24 = 4x
x = 6 saat sonra 1. mum 56 cm olur.
👉 6 saat sonra 2. mumum boyunun kaç cm olacağını bulmak için ikinci mumun doğrusal denkleminde x yerine 6 yazmalıyız.
60-2x
60-2·6
60-12
48 cm ➡ 6 saat sonra ikinci mumun boyu
Yeni Nesil Soru
🎥 Bir Soru Bir Video 🎥
Soru: Anıl ve Efe sabit hızla maraton yarışı koşmaktadırlar.
Anıl ve Efe görseldeki gibi bir zaman diliminden başlayan yol-zaman grafiği aşağıda verilmiştir.
Buna göre kaç saniye sonra Anıl ve Efe aynı hizada olurlar?
| A) 185 | B) 190 | C) 195 | D) 200 |
Çözüm:
Konu Anlatımının Devamı : https://www.matematikodevi.com/dogrusal-denklemlerin-grafigini-cizme/